分銅の問題

12個の分銅があり、この中に1つだけ重さが他と異なる。いま、天秤を3回だけ使って、重さの違う1個を見つけよ。さらに、それが他より軽いか重いか判定せよ。

 

分銅12個をそれぞれa1~a12とする。また正常な重さの分銅をXとする。

1回目

a1~a4とa5~a8を測定

釣り合う場合 → 2回目の1へ

釣り合わない場合 → 2回目の2へ

 

2回目
  1. 他と異なる分銅はa9~a12のいずれか
    a9,a10とa11,Xを測定
    釣り合う場合 → 3回目の1へ
    釣り合わない場合 → 3回目の2へ

  2. a1~a4が下がると仮定するとa1~a4のいずれかが重い、またはa5~a8のいずれかが軽い(a1~a4が上がる場合も同様に判定)
    a1,X,X,Xとa5,a2~a4を測定
    釣り合う場合 → 3回目の3へ
    釣り合わない場合 → 3回目の4へ
3回目
  1. a12以外全て同じ重さであることが測定された
    a12とXを測定 → a12が重い(軽い)

  2. a9,a10が下がると仮定するとa9,a10のいずれかが重い、またはa11が軽い(a9,a10が上がる場合も同様に判定)
    a9とa10を測定
    釣り合う場合 → a11が軽い
    釣り合わない場合 → 下がる方が重い

  3. 仮定よりa6~a8のいずれかが軽い
    a6とa7を測定
    釣り合う場合 → a8が軽い
    釣り合わない場合 → 上がる方が軽い

  4. a1,X,X,Xが下がる場合a1が重い、またはa5が軽い
    a1とXを測定
    釣り合う場合 → a5が軽い
    釣り合わない場合 → a1が重い

    a5,a2~a4が下がる場合a2~a4のいずれかが重い
    a2とa3を測定
    釣り合う場合 → a4が重い
    釣り合わない場合 → 下がる方が重い

 

見にくいのは仕方がない

線型の教科書に載っていたので解いてみた

どんな場合でも必ず3回測定が必要ってのが面白い